המילה 'אסף' היא למעשה מילת פעולה, בצורת עבר יחיד. 'אסף' הוא מי שכינס, ליקט, צירף יחד, והיא יכולה לתת להורים הקוראים בשם זה תחושה של כינוס, של הכלה, של מלאות ושל שלמות. מילת פעולה זו היתה לשם מכובד ומקובל כבר בתנ"ך, בו מוזכר אסף בן ברכיהו, אמן נגינה וכלי שיר, שהיה אחד הלוויים המשוררים שהשתתפו בהעלאת ארון ה' לירושלים בתקופת המלך דוד. על כך מסופר בספר דברי הימים בתנ"ך:

וַיֹּאמֶר דָּוִיד לְשָׂרֵי הַלְוִיִּם לְהַעֲמִיד אֶת אֲחֵיהֶם הַמְשֹׁרְרִים בִּכְלֵי שִׁיר, נְבָלִים וְכִנֹּרוֹת וּמְצִלְתָּיִם, מַשְׁמִיעִים לְהָרִים בְּקוֹל לְשִׂמְחָה. וַיַּעֲמִידוּ הַלְוִיִּם אֵת הֵימָן בֶּן-יוֹאֵל, וּמִן אֶחָיו – אָסָף בֶּן בֶּרֶכְיָהוּ" (דברי הימים א', פרק ט"ו 17-18).

כאשר הובא ארון האלוהים והוצג בתוך האוהל שהעמיד עבורו המלך דוד, זבח דוד קרבנות לאל, בירך את העם, כיבד אותו בסעודת מלכים והעמיד את הלויים לשיר ולנגן, ובראשם אסף:

"אָסָף הָרֹאשׁ, וּמִשְׁנֵהוּ זְכַרְיָה" (דברי הימים א', פרק ט"ז, 5).

מעמד מרגש זה הוא המקור למזמור שנאמר פעמים רבות בתפילה עד היום:

"הוֹדוּ לַאדני, קִרְאוּ בִשְׁמוֹ, הוֹדִיעוּ בָעַמִּים עֲלִילֹתָיו, שִׁירוּ לוֹ, זַמְּרוּ לוֹ, שִׂיחוּ בְּכָל נִפְלְאֹתָיו" (שם, 8-9).

מאוחר יותר, בתקופת שיבת ציון, השתתפו מבני אסף גם בחנוכת בית המקדש השני. בספר תהלים מוקדשים 12 מזמורים שלמים לדמותו של 'אסף', כגון מזמור ע"ג הפותח במלים:

"מִזְמוֹר לְאָסָף אַךְ טוֹב לְיִשְׂרָאֵל אֱלֹהִים לְבָרֵי לֵבָב",

מזמור ע"ו הפותח במלים:

"לַמְנַצֵּחַ בִּנְגִינֹת, מִזְמוֹר לְאָסָף שִׁיר. נוֹדָע בִּיהוּדָה אֱלֹהִים, בְּיִשְׂרָאֵל גָּדוֹל שְׁמוֹ",

וגם מזמור פ"ג המוכר לנו מטקסי זיכרון, ופותח במילים:

"שִׁיר מִזְמוֹר לְאָסָף, אֱלֹהִים אַל דֳּמִי לָךְ, אַל תֶּחֱרַשׁ וְאַל תִּשְׁקֹט אֵל, כִּי הִנֵּה אוֹיְבֶיךָ יֶהֱמָיוּן וּמְשַׂנְאֶיךָ נָשְׂאוּ רֹאשׁ".

השם 'אסף' זה יכול להינתן גם להנצחתו של אדם שנקרא יוסף, בשל הדמיון הצלילי בין השמות ובהתבסס על דבריה של רחל אימנו בנמקה את השם שקראה לבנה הבכור – יוסף:

"וַתֹּאמֶר: אָסַף אֱלֹהִים אֶת חֶרְפָּתִי, וַתִּקְרָא אֶת שְׁמוֹ יוֹסֵף" (בראשית ל' 23-24).